QUATERNIONS RÉELS, DUAUX ET COMPLEXES. APPLICATIONS EN ROBOTIQUE, IMAGERIE NUMÉRIQUE, AÉROSPATIALE, BIOMÉCANIQUE, PHYSIQUE RELATIVISTE ET QUANTIQUE

I – Fondements mathématiques .. 21
1. NOMBRES COMPLEXES, DUAUX ET BIRÉELS ... 23
2. QUATERNIONS .. 41
3. INTERPRÉTATION GÉOMETRIQUE DES QUATERNIONS ... 55
4. ROTATIONS SPATIALES – MATRICES .. 65
5. ROTATIONS SPATIALES – QUATERNIONS .... 81
6. QUATERNIONS COMPLEXES ...... 103
7. OCTONIONS ET SÉDÉNIONS ....... 111
8. QUATERNIONS DUAUX .. 117
9. TRANSLATIONS ET ROTATIONS – MATRICES .. 137
10. TRANSLATIONS ET ROTATIONS – QUATERNIONS DUAUX . 153
11. QUATERNIONS DUAUX COMPLEXES ET QUATERNIONS BIRÉELS.... 171

II – Applications . 179
12. DOMAINES D?APPLICATIONS ....... 181
13. ONDELETTES QUATERNIONIQUES POUR L?ANALYSE IMAGE ...... 189
14. ANALYSE D?IMAGES COULEUR PAR APPROCHES QUATERNIONIQUES 209
15. MÉTHODE D?ÉVALUATION DES QUATERNIONS POUR L?ORIENTATION DES SYSTÈMES RIGIDES .. 233
16. COMPARAISON ENTRE OPÉRATIONS QUATERNIONIQUES ET CLASSIQUES ... 253
17. LES QUATERNIONS DUAUX EN ROBOTIQUE .... 261
18. INTERPOLATION ET APPROXIMATION DES QUATERNIONS DUAUX .... 273
19. MODÉLISATION QUATERNIONIQUE DU LIEN FORME-FONCTION DES SURFACES ARTICULAIRES .... 281
20. GROUPES ET QUATERNIONS....... 295
21. RELATIVITÉ RESTREINTE — MÉCANIQUE QUANTIQUE ..... 311
22. GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES .. 323
23. QUATERNIONS ET ESPACE ELLIPTIQUE ..... 333
BIBLIOGRAPHIE ... 339

Les quaternions sont des outils mathématiques dont les utilisations se développent rapidement dans de nombreux domaines techniques et scientifiques.
Dans une première partie de l’ouvrage, les auteurs proposent une initiation pédagogique aux fondements mathématiques des diverses sortes de quaternions : réels, duaux et complexes qui sont les plus utilisés. Des aperçus sur les nombres et les quaternions biréels ainsi que sur les octonions et les sédénions sont également développés. Les définitions et les démonstrations ont été choisies sous forme de mathématiques appliquées de façon à répondre aux besoins des utilisateurs : élèves des écoles d’ingénieurs, étudiants en licence, maîtrise ou doctorat, enseignants, ingénieurs et physiciens.
Dans une seconde partie, les auteurs développent des applications des quaternions dans des domaines très divers auxquels leur emploi ouvre de nouvelles possibilités. C’est le cas, par exemple, en robotique où un algorithme doit générer très rapidement en temps réel les commandes appropriées d’un robot et corriger ses mouvements au fur et à mesure de son évolution. De plus les quaternions duaux permettent de contrôler de manière unifiée sa position et son orientation. Ce problème d’unification se retrouve d’une autre façon dans la modélisation quaternionique du lien entre la forme et la fonction des surfaces articulaires d’un patient à soigner. De même le traitement quaternionique d’images en couleur a permis d’introduire une représentation de chaque couleur prise dans sa globalité.
D’un autre point de vue, la modélisation mathématique des phénomènes fondamentaux de la physique nécessite d’abandonner les contraintes ordinaires de l’algèbre classique afin d’obtenir une représentation plus proche des résultats expérimentaux observés. L’utilisation de nombres hypercomplexes comme les quaternions complexes ou d’autres de dimensions plus élevées répond alors à cette nécessité.
Les auteurs : Philippe Carré, Patrice Denis, Gwenaël Guillard, Chafiaâ Hamitouche, Jean Hladik, Pierre-Emmanuel Hladik, Véronique Perdereau, Christian Roux, Roland Traccucci.